K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 5 2019

\(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2\cdot2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3\cdot3}< \frac{1}{2\cdot3}\)

.......................................

\(\frac{1}{2014^2}=\frac{1}{2014\cdot2014}< \frac{1}{2013\cdot2014}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{2013\cdot2014}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2014}=\frac{2013}{2014}\)

10 tháng 5 2019

Trần Nhật Dương    Chứng minh \(A< \frac{3}{4}\) mà :)) 

13 tháng 5 2019

\(n^2>\left(n-1\right)\left(n+1\right)\Rightarrow\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).\) 

 Do đó:   \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2013^2}+\frac{1}{2014^2}< \frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{2012.2014}+\frac{1}{2013.2015}=\) 

\(=\frac{1}{2}[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2014}+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}]=\) 

\(=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}]=\frac{1}{2}[\frac{3}{2}-\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}]=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}\right)< \frac{3}{4}.\)

Ta có: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2014^2}\)

\(=\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2014^2}\right)\)

Nhận xét: \(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3\cdot4}\)

\(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4\cdot5}\)

...

\(\frac{1}{2014^2}< \frac{1}{2013\cdot2014}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2014^2}\right)< \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{2013\cdot2014}\right)\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\right)\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2014}\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{3019}{4028}\)

\(\frac{3019}{4028}< \frac{3021}{4028}=\frac{3}{4}\)

nên \(A< \frac{3}{4}\)(đpcm)

28 tháng 6 2020

cảm ơn <3

10 tháng 5 2019

Ta có:

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{2014^2}\)

\(< \frac{1}{4}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+.....+\frac{1}{2013\cdot2014}\)

\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+.....+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}\)

\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2014}\)

\(=\frac{3}{4}-\frac{1}{2014}\)

\(< \frac{3}{4}\)

26 tháng 4 2018

\(a)\) Đặt \(A=\frac{2013}{2014}+\frac{2014}{2015}+\frac{2015}{2013}\) ta có : 

\(A=\frac{2014-1}{2014}+\frac{2015-1}{2015}+\frac{2013+2}{2013}\)

\(A=\frac{2014}{2014}-\frac{1}{2014}+\frac{2015}{2015}-\frac{1}{2015}+\frac{2013}{2013}+\frac{2}{2013}\)

\(A=1-\frac{1}{2014}+1-\frac{1}{2015}+1+\frac{2}{2013}\)

\(A=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}-\frac{2}{2013}\right)\)

\(A=3-\left[\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}-\left(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2013}\right)\right]\)

\(A=3-\left[\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2013}-\frac{1}{2013}\right]\)

\(A=3-\left[\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2013}\right)+\left(\frac{1}{2015}-\frac{1}{2013}\right)\right]\)

Mà : 

\(\frac{1}{2014}< \frac{1}{2013}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2013}< 0\)

\(\frac{1}{2015}< \frac{1}{2013}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2015}-\frac{1}{2013}< 0\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2013}\right)+\left(\frac{1}{2015}-\frac{1}{2013}\right)< 0\) ( cộng theo vế ) 

\(\Rightarrow\)\(-\left[\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2013}\right)+\left(\frac{1}{2015}-\frac{1}{2013}\right)\right]>0\)

\(\Rightarrow\)\(A=3-\left[\left(\frac{1}{2014}-\frac{1}{2013}\right)+\left(\frac{1}{2015}-\frac{1}{2013}\right)\right]>3\) ( cộng hai vế cho 3 ) 

\(\Rightarrow\)\(A>3\) ( điều phải chứng minh ) 

Vậy \(A>3\)

Chúc đệ học tốt ~ 

26 tháng 4 2018

c, 

\(C=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{9999}{10000}\)

vì \(\frac{1}{2}< \frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}< \frac{4}{5}\)

\(\frac{5}{6}< \frac{6}{7}\)

.............................

\(\frac{9999}{10000}< \frac{10000}{10001}\)

nên \(C^2< \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{10000}{10001}\)

\(\Rightarrow C^2< \frac{1}{10001}< \frac{1}{10000}\)

\(\Rightarrow C< \frac{1}{100}\)

bt lm mỗi một câu :v

,mình sửa lại đề:

\(\frac{2013}{2014}+\frac{2014}{2015}+\frac{2015}{2013}< 3\)

xóa các chữ số ở tử và mẫu: 2014 và 2014,2015 và 2015

=\(\frac{2013}{2013}\)

=\(1\)

vì \(1>3\) nên \(\frac{2013}{2014}+\frac{2014}{2015}+\frac{2015}{2013}>3\)

13 tháng 9 2015

Đề sai 

Vì \(\frac{1}{2^2}=0,25\) mà 0,25 > 0,2

=> Bạn xem lại đề nhé 

Giải:

a)  \(\dfrac{7}{x}< \dfrac{x}{4}< \dfrac{10}{x}\) 

\(\Rightarrow7< \dfrac{x^2}{4}< 10\) 

\(\Rightarrow\dfrac{28}{4}< \dfrac{x^2}{4}< \dfrac{40}{4}\) 

\(\Rightarrow x^2=36\) 

\(\Rightarrow x=6\) 

b) \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{9^2}\) 

Ta có:

\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2}\) 

\(\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3}\) 

\(\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4.4}< \dfrac{1}{3.4}\) 

\(...\) 

\(\dfrac{1}{9^2}=\dfrac{1}{9.9}< \dfrac{1}{8.9}\) 

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{8.9}\) 

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}\) 

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{9}\) 

\(\Rightarrow A< \dfrac{8}{9}\left(1\right)\) 

Ta có:

\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}>\dfrac{1}{2.3}\) 

\(\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}>\dfrac{1}{3.4}\) 

\(\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4.4}>\dfrac{1}{4.5}\) 

 \(...\) 

\(\dfrac{1}{9^2}=\dfrac{1}{9.9}>\dfrac{1}{9.10}\) 

\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{9.10}\) 

\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\) 

\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10}\) 

\(\Rightarrow A>\dfrac{2}{5}\left(2\right)\) 

Từ (1) và (2), ta có:

\(\Rightarrow\dfrac{2}{5}< A< \dfrac{8}{9}\left(đpcm\right)\)

25 tháng 5 2021

Bạn có thể viết thay dòng "Từ (1) và (2)" thành "Từ các điều kiện trên" bạn nhé !(bạn ko cần phải sửa, đây chỉ là gợi ý)hihi

8 tháng 5 2016

Ta có : A = 1/3 - 2/3^2 + 3/3^3 - 4/3^4 +...- 2014/3^2014

=> 3A = 1 - 2/3 + 3/3^2 - 4/3^3 +...- 2014/3^2013

=> 4A = 1- 1/3 + 1/3^2 -...- 1/3^2013 - 2014/3^2014

Xét B = 1-1/3+1/3^2 -...- 1/3^2013

=> 3B = 3 - 1 + 1/3 -...- 1/3^2012

=> 4B = 3- 1/3^2013

=> B = (3- 1/3^2013)/4 < 3/4

=> 4A < 3/4 - 2014/3^2014< 3/4

=> A < 3/16 < 3/15 =1/5

Vậy A < 1/5 (đpcm)

Chúc bạn học tốt